Materi Kuliah - Semester Genap 2025/2026

MK: GELOMBANG DALAM GEOFISIKA

Pendahuluan &
Review Matematika Dasar

Pertemuan Ke-1


Dosen Pengampu: Yudha Styawan, M.Sc.

Daftar Isi

  • 1 Introduction
  • 2 Complex Numbers
  • 3 Scalars and Vectors
  • 4 Matrix Algebra
  • 5 Vector Transformations
  • 6 Vector Calculus
  • 7 Spherical Coordinates

2. Bilangan Kompleks: Definisi & Geometri

Bilangan kompleks $z$ memperluas sistem bilangan riil dengan memperkenalkan unit imajiner $i = \sqrt{-1}$.

$$ z = x + iy $$
  • Bidang Kompleks (Argand): Sumbu horizontal menyatakan bagian riil ($Re$), dan sumbu vertikal menyatakan bagian imajiner ($Im$).
  • Konjugat: $\bar{z} = x - iy$, yaitu pencerminan terhadap sumbu riil.
Nilai imajiner bernilai positif ke arah atas dan negatif ke arah bawah pada bidang kompleks.

Visualisasi Bilangan Kompleks

Re:
Im:

Ubah nilai Re dan Im untuk melihat posisi bilangan kompleks dan konjugatnya pada bidang Argand.

Bentuk Polar & Eksponensial

Menggunakan hubungan trigonometri pada bidang Argand:

$$ z = r(\cos \theta + i\sin \theta) = re^{i\theta} $$
  • Modulus ($r$): Jarak dari titik asal, $\sqrt{x^2 + y^2}$.
  • Argumen ($\theta$): Sudut fase, $\tan^{-1}(y/x)$.

Contoh Soal: Operasi Kompleks

Hitunglah nilai dari $z = \frac{1+i}{1-i}$ dan ubah ke bentuk polar.

1. Rasionalisasi: Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut ($1+i$). $$ z = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} $$
2. Sederhanakan: Mengingat $i^2 = -1$: $$ z = \frac{1 + 2i - 1}{1 - (-1)} = \frac{2i}{2} = i $$
3. Bentuk Polar: $z = 0 + 1i$. Maka $r = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$ dan $\theta = 90^\circ$ atau $\pi/2$. $$ z = 1 \cdot e^{i\pi/2} $$

3.1 & 3.2 Definisi & Operasi Vektor

Vektor adalah entitas matematis yang memiliki besaran dan arah. Di ruang $\mathbb{R}^3$: $$ \mathbf{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k} $$
  • Penjumlahan: Komutatif $\mathbf{A}+\mathbf{B} = \mathbf{B}+\mathbf{A}$.
  • Perkalian Skalar: Mengubah skala $\lambda\mathbf{A}$.

Visualisasi Penjumlahan Vektor (2D)

Vektor A

Aₓ: 60
Aᵧ: -40

Vektor B

Bₓ: 40
Bᵧ: 70

Hijau: Resultan $\mathbf{R} = \mathbf{A} + \mathbf{B}$

3.3 Perkalian Skalar (Dot Product)

$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}||\mathbf{B}|\cos\theta = \sum A_i B_i $$
  • Hasilnya selalu berupa skalar.
  • Ortogonalitas: $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 0 \iff \mathbf{A} \perp \mathbf{B}$.

Visualisasi Dot Product

Vektor A

Aₓ: 80
Aᵧ: 20

Vektor B

Bₓ: 40
Bᵧ: 60

Oranye: proyeksi $\mathbf{A}$ pada arah $\mathbf{B}$

Contoh Soal: Sudut Antar Vektor

Hitung sudut antara $\mathbf{A} = (1, 2, 0)$ dan $\mathbf{B} = (2, 1, 0)$.

1. Hitung $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$: $(1)(2) + (2)(1) + (0)(0) = 4$.
2. Hitung Magnitudo: $|\mathbf{A}| = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$, $|\mathbf{B}| = \sqrt{5}$.
3. Rumus Cosine: $$ \cos\theta = \frac{4}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = 0.8 \implies \theta \approx 36.87^\circ $$

3.4 Perkalian Vektor (Cross Product)

$$ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = |\mathbf{A}||\mathbf{B}|\sin\theta \hat{\mathbf{n}} $$
Anti-komutatif: $\mathbf{A} \times \mathbf{B} = -(\mathbf{B} \times \mathbf{A})$.
  • Besaran sama dengan luas jajar genjang.
  • Arah ditentukan oleh aturan tangan kanan.

Visualisasi Cross Product (Luas)

Vektor A

Aₓ: 80
Aᵧ: -20

Vektor B

Bₓ: 30
Bᵧ: -70

Visualisasi Vektor Hasil ($\mathbf{A} \times \mathbf{B}$)

Vektor A

Aₓ: 80
Aᵧ: 20

Vektor B

Bₓ: 30
Bᵧ: -70

Arah vektor hasil tegak lurus bidang A-B

3.5 Notasi Indeks (Einstein Convention)

Prinsip: Jika sebuah indeks muncul dua kali dalam satu suku, maka indeks tersebut dijumlahkan. $$ a_i b_i = \sum_{i=1}^3 a_i b_i $$
  • Kronecker Delta: $\delta_{ij}$ (1 jika $i=j$, 0 lainnya).
  • Simbol Levi-Civita: $\epsilon_{ijk}$ (permutasi).

4.1 Definisi Matriks

Matriks adalah susunan angka, simbol, atau ekspresi berbentuk persegi panjang yang disusun dalam baris dan kolom.

$$ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} $$
  • Ordo: Ukuran matriks (Baris $\times$ Kolom).
  • Matriks Identitas ($I$): Matriks diagonal dengan elemen 1.
  • Transpose ($A^T$): Menukar baris menjadi kolom.

Visualisasi: Matriks sebagai transformasi ruang (vektor basis)

4.2 Determinan

Determinan adalah nilai skalar yang dihasilkan dari matriks persegi. Untuk matriks $2 \times 2$:

$$ \det(\mathbf{A}) = |\mathbf{A}| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} $$
Jika $\det(\mathbf{A}) = 0$, matriks disebut Singular dan tidak memiliki invers.
  • Interpretasi Geometris: Faktor perubahan luas (2D) atau volume (3D).

Contoh Soal: Determinan $3 \times 3$

Hitung determinan dari $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$.

1. Ekspansi Kofaktor (Baris 1): $$ 1 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} $$
2. Hitung Minor $2 \times 2$: $$ 1(0 - 24) - 2(0 - 20) + 3(0 - 5) $$ $$ -24 + 40 - 15 $$
Jawaban: $\det(\mathbf{A}) = 1$.

4.3 Invers Matriks

Invers matriks $\mathbf{A}^{-1}$ adalah matriks yang jika dikalikan dengan $\mathbf{A}$ menghasilkan matriks identitas $\mathbf{I}$.

$$ \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \text{adj}(\mathbf{A}) $$
  • Hanya berlaku untuk matriks persegi non-singular.
  • Sifat: $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$.

Contoh Soal: Invers $2 \times 2$

Cari invers dari $\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$.

1. Hitung Determinan: $$ \det(M) = (4)(6) - (7)(2) = 24 - 14 = 10 $$
2. Cari Adjoint (Tukar diagonal utama, beri negatif diagonal samping): $$ \text{adj}(M) = \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} $$
3. Hasil Akhir: $$ \mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix} $$

4.4 Sistem Persamaan Linear (SPL)

SPL dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks:

$$ \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b} $$

Metode penyelesaian:

  • Metode Invers: $\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}$.
  • Aturan Cramer: Menggunakan rasio determinan.
  • Eliminasi Gauss: Operasi Baris Elementer (OBE).

Visualisasi SPL 2 Variabel

L1: $x + y = $ L2: $2x - y = $

5.1 Transformasi Koordinat

Transformasi koordinat mendeskripsikan bagaimana komponen suatu vektor berubah ketika sistem koordinat atau basis ruang vektor diubah (misalnya akibat rotasi sumbu).

$$ \mathbf{x}' = \mathbf{M}\mathbf{x} $$

Untuk rotasi 2D sebesar sudut $\theta$, matriks transformasinya adalah:

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

Secara geometris, transformasi ini dapat ditafsirkan sebagai perubahan basis koordinat, bukan perubahan vektor fisik.

Visualisasi Transformasi Koordinat (Rotasi Basis)

Vektor Awal

x: 1
y: 0.5
Sudut rotasi basis (θ): 45°

Biru: vektor fisik (tetap)   |   Merah: komponen vektor dalam basis ter-rotasi

Contoh Soal: Rotasi Vektor

Putar vektor $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ sebesar $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam.

1. Matriks Rotasi ($90^\circ$): $$ \mathbf{R} = \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
2. Operasi Perkalian: $$ \mathbf{v}' = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(1) + (-1)(0) \\ (1)(1) + (0)(0) \end{pmatrix} $$
Jawaban: $\mathbf{v}' = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

5.2 Nilai Eigen & Vektor Eigen

Vektor eigen adalah vektor non-nol yang arahnya tidak berubah (hanya skalanya yang berubah) saat dikalikan dengan matriks $\mathbf{A}$.

$$ \mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} $$
  • $\lambda$: Nilai Eigen (skalar).
  • $\mathbf{v}$: Vektor Eigen.
  • Persamaan Karakteristik: $\det(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = 0$.
Vektor eigen mendefinisikan "sumbu utama" dari sebuah transformasi linear.

Visualisasi Nilai Eigen & Vektor Eigen (2D)

Matriks Transformasi


Merah: vektor eigen   |   Biru: vektor umum berubah arah

Contoh Soal: Mencari Nilai Eigen

Cari nilai eigen dari $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.

1. Susun Persamaan Karakteristik: $$ \det\begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix} = 0 $$ $$ (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0 \implies \lambda^2 - 7\lambda + 12 - 2 = 0 $$
2. Faktorkan Persamaan Kuadrat: $$ \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \implies (\lambda - 5)(\lambda - 2) = 0 $$
Jawaban: Nilai eigen adalah $\lambda_1 = 5$ dan $\lambda_2 = 2$.

5.3 Matriks Simetris & Diagonalisasi

Matriks simetris ($\mathbf{A} = \mathbf{A}^T$) selalu memiliki nilai eigen riil dan vektor eigen yang saling ortogonal.

  • Diagonalisasi: Jika $\mathbf{P}$ adalah matriks yang kolomnya adalah vektor eigen, maka: $$ \mathbf{A} = \mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1} $$
  • Di mana $\mathbf{D}$ adalah matriks diagonal yang berisi nilai-nilai eigen.
  • Dekomposisi Spektral: Menulis matriks sebagai jumlah proyeksi pada ruang eigen.

Proses Diagonalisasi

Langkah-langkah mendiagonalisasi matriks $\mathbf{A}$:

Langkah 1: Hitung semua nilai eigen $\lambda_i$.
Langkah 2: Cari vektor eigen $\mathbf{v}_i$ yang bersesuaian untuk setiap $\lambda_i$.
Langkah 3: Susun matriks modal $\mathbf{P} = [\mathbf{v}_1 \mathbf{v}_2 \dots]$.
Langkah 4: Matriks diagonal $\mathbf{D}$ dibentuk dengan elemen diagonal $D_{ii} = \lambda_i$.

6.1 Medan Skalar dan Vektor

Medan Skalar ($\phi$): Fungsi yang memberikan satu nilai skalar pada setiap titik dalam ruang (Contoh: Temperatur, Potensial Gravitasi).

Medan Vektor ($\mathbf{V}$): Fungsi yang memberikan magnitudo dan arah pada setiap titik dalam ruang (Contoh: Aliran Fluida, Medan Magnet Bumi).

  • Relevansi Geofisika: Pemetaan anomali gravitasi (skalar) dan variasi medan magnetik bumi (vektor).

Visualisasi: Medan Vektor aliran fluida di sekitar anomali.

6.2 Gradien ($\nabla \phi$)

Gradien adalah operator yang bekerja pada medan skalar untuk menghasilkan medan vektor yang menunjuk ke arah laju perubahan maksimum.

$$ \nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{k} $$
  • Makna Fisis: Arah kemiringan tercuram dari suatu permukaan potensial.
  • Geofisika: Gaya gravitasi adalah negatif gradien dari potensial gravitasi ($\mathbf{g} = -\nabla \Phi$).

Contoh Soal: Gradien

Tentukan gradien dari fungsi potensial $\phi = x^2y + z$ pada titik $(1, 2, 1)$.

1. Turunan Parsial: $$ \frac{\partial \phi}{\partial x} = 2xy, \quad \frac{\partial \phi}{\partial y} = x^2, \quad \frac{\partial \phi}{\partial z} = 1 $$
2. Substitusi Titik (1, 2, 1): $$ \nabla \phi = (2 \cdot 1 \cdot 2)\hat{i} + (1^2)\hat{j} + 1\hat{k} = 4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} $$
Jawaban: Vektor gradien adalah $(4, 1, 1)$.

6.3 Divergensi ($\nabla \cdot \mathbf{V}$)

Divergensi mengukur sejauh mana medan vektor menyebar (source) atau mengumpul (sink) dari suatu titik.

$$ \nabla \cdot \mathbf{V} = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z} $$
  • Makna Fisis: Laju aliran neto per satuan volume.
  • Geofisika: Dalam hidrogeologi, divergensi kecepatan air tanah menunjukkan adanya imbuhan (recharge) atau ekstraksi (pumping).
Jika $\nabla \cdot \mathbf{V} = 0$, medan tersebut disebut Solenoidal (tidak ada sumber/hulu).

6.4 Curl ($\nabla \times \mathbf{V}$)

Curl mengukur kecenderungan medan vektor untuk berotasi atau "melingkar" di sekitar suatu titik.

$$ \nabla \times \mathbf{V} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ V_x & V_y & V_z \end{vmatrix} $$
  • Makna Fisis: Vektor sirkulasi lokal.
  • Geofisika: Hukum Ampere dalam elektromagnetik geofisika menggunakan curl untuk menghubungkan medan magnet dengan densitas arus listrik.

Contoh Soal: Curl

Hitung curl dari $\mathbf{V} = y\hat{i} - x\hat{j} + z\hat{k}$.

1. Komponen: $$ \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} = 0 - 0 = 0 $$ $$ \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} = 0 - 0 = 0 $$ $$ \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} = -1 - 1 = -2 $$
Jawaban: $\nabla \times \mathbf{V} = -2\hat{k}$. (Menunjukkan rotasi searah jarum jam di bidang xy).

6.5 Laplacian ($\nabla^2 \phi$)

Laplacian adalah divergensi dari gradien. Mengukur "kelengkungan" atau rata-rata lokal dari medan skalar.

$$ \nabla^2 \phi = \nabla \cdot (\nabla \phi) = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} $$
  • Geofisika: Persamaan Laplace ($\nabla^2 \Phi = 0$) mendasari penentuan medan gravitasi dan magnetik di ruang hampa udara.
  • Persamaan Gelombang: Digunakan dalam seismologi untuk memodelkan perambatan gelombang seismik.

7.1 Sistem Koordinat Bola

Sistem koordinat bola mendefinisikan posisi titik P menggunakan tiga parameter: \( (r, \theta, \phi) \).

  • \( r \) : jarak radial dari titik asal \( (0 \le r < \infty) \)
  • \( \theta \) : sudut polar (kolatitudo) dari sumbu-z \( (0 \le \theta \le \pi) \)
  • \( \phi \) : sudut azimut dari sumbu-x \( (0 \le \phi < 2\pi) \)

Hubungan dengan Koordinat Kartesius:

\[ x = r \sin\theta \cos\phi, \quad y = r \sin\theta \sin\phi, \quad z = r \cos\theta \]

Transformasi ini sangat penting dalam seismologi, khususnya untuk analisis gelombang radial dan sudut datang.

Visualisasi Interaktif Koordinat Bola

Parameter Koordinat Bola

r (jarak radial): 80

θ (sudut polar): 45°

φ (sudut azimut): 45°

Koordinat bola sangat berguna ketika sistem memiliki simetri radial, misalnya medan gelombang, potensi gravitasi, dan propagasi seismik.

Oranye: vektor radial (r)   |   Biru: sudut θ   |   Merah: titik P

7.2 Jarak dan Azimut

Great Circle Distance: Jarak terpendek antara dua titik di permukaan bola (Bumi) mengikuti busur lingkaran besar.

$$ \cos \Delta\sigma = \sin\theta_1\sin\theta_2 + \cos\theta_1\cos\theta_2\cos(\phi_1-\phi_2) $$
  • Azimut: Sudut horizontal yang diukur searah jarum jam dari arah Utara (biasanya sumbu-$z$ dalam geofisika global mewakili sumbu rotasi).
  • Relevansi Geofisika: Menghitung jarak episenter gempa ke stasiun seismik di belahan bumi lain.

Contoh Soal: Jarak Busur

Dua stasiun terletak pada permukaan bola dengan radius $R$. Stasiun A pada $(\theta=0, \phi=0)$ dan Stasiun B pada $(\theta=\pi/2, \phi=\pi/2)$. Hitung jarak permukaan antara keduanya.

1. Identifikasi Posisi: A berada di kutub utara ($z=R$), B berada di ekuator pada sumbu-$y$ ($y=R$).
2. Hitung Sudut Tengah ($\Delta\sigma$): $$ \cos \Delta\sigma = \cos(0)\cos(\pi/2) + \sin(0)\sin(\pi/2)\cos(\pi/2) = 0 $$ Maka, $\Delta\sigma = \pi/2$ radian.
3. Jarak ($s$): $$ s = R \cdot \Delta\sigma = \frac{\pi R}{2} $$

7.3 Pemilihan Sumbu (Choice of Axes)

Dalam geofisika, orientasi sumbu sangat bergantung pada skala permasalahan:

  • Skala Global: Sumbu-$z$ sejajar dengan sumbu rotasi bumi (Kutub). Sudut $\theta$ sering diganti dengan lintang ($\lambda = 90^\circ - \theta$).
  • Skala Lokal: Sumbu-$z$ menunjuk ke arah zenit (atas), dan bidang $xy$ sejajar dengan permukaan tanah lokal.
Hati-hati: Beberapa literatur matematika menukar simbol $\theta$ dan $\phi$. Selalu periksa definisi sudut sebelum menurunkan rumus.

7.4 Operator Vektor dalam Koordinat Bola

Karena faktor skala ($h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$), operator turunan berubah bentuk:

Gradien ($\nabla \psi$): $$ \nabla \psi = \frac{\partial \psi}{\partial r}\mathbf{\hat{r}} + \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\mathbf{\hat{\theta}} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\mathbf{\hat{\phi}} $$
Laplacian ($\nabla^2 \psi$): $$ \nabla^2 \psi = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial \psi}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2} $$

Makna Fisis dalam Geofisika

  • Divergensi: Digunakan dalam persamaan kontinuitas aliran mantel bumi.
  • Laplacian: Digunakan untuk menyelesaikan Persamaan Laplace pada potensial gravitasi bumi ($\nabla^2 U = 0$) yang menghasilkan fungsi Harmonik Bola (Spherical Harmonics).

Terima Kasih

Ada pertanyaan?


Tugas dikumpulkan via e-learning paling lambat:
Senin depan, pukul 23.59 WIB